====================================================================== = Elliptische Modulform = ====================================================================== Introduction ====================================================================== Elliptische Modulformen umfassen in der Mathematik eine bestimmte Gattung von Funktionen, die eine überaus starke Form der Symmetrie besitzen und aufgrund ihrer sehr breiten Anwendungsmöglichkeiten wie zum Beispiel in Zahlentheorie, Topologie, Darstellungstheorie, Gruppentheorie, Geometrie, Kombinatorik, Stringtheorie, Differentialgleichungen und Knotentheorie zu den bedeutendsten Objekten innerhalb der modernen Mathematik gehören. Das Wort „elliptisch“ bedeutet in diesem Kontext, dass die betreffenden Modulformen auf Modulräumen elliptischer Kurven definiert sind. Hierbei ist „Modul“ ein altmodisches Wort für „Parameter, der für ein geometrisches Objekt steht“. In der Literatur wird jedoch dieser Zusatz häufig weggelassen, wenn aus dem Kontext ersichtlich ist, um welchen Typ Modulform es sich handelt. Elliptische Modulformen - und ihre Verallgemeinerungen - werden als Kandidaten für eine Zusammenführung einiger Teilbereiche der Mathematik und theoretischen Physik gesehen, weshalb in der Literatur gelegentlich von „web of modularity“ (deutsch: „Netz der Modularität“) und „modular forms are everywhere“ (deutsch: „Modulformen sind überall“) gesprochen wird. Damit ist gemeint, dass sie Brücken zwischen mathematischen, aber auch physikalischen Theorien bauen, die längere Zeit als verschieden angesehen wurden und teils eine völlig unterschiedliche mathematische Historie und Tradition haben. In manchen Fällen sind solche Zusammenhänge in der Vergangenheit schon gezeigt worden, in anderen Fällen, besonders im Umfeld der Zahlentheorie und Darstellungstheorie, werden sie im Rahmen des Langlands-Programms bis heute nur vermutet. Sehr kurz beschreiben lassen sich diese Zusammenhänge durch ein „gemeinsames Vorhandensein von Symmetrie“. Vereinheitlichende mathematische Theorien sind von besonderem Interesse, weil sie die verborgene „Architektur der Mathematik“ sichtbar machen und durch diese Einsichten neue Anwendungsfelder eröffnen. In etwa eröffnet sich die Möglichkeit, Probleme einer Theorie äquivalent in eine andere Theorie zu übertragen, und gegebenenfalls mit den dort vorhandenen Methoden zu lösen. Auch in der theoretischen Physik gelten Modulformen als Bestandteil innerhalb mathematischer Theorien, die tiefere Strukturen hinter dem Aufbau des Universums erklären könnten - etwa im Umfeld der Stringtheorie - ähnlich wie die Riemannsche Geometrie aus der Mathematik die Grundlage für Albert Einsteins Relativitätstheorie bildete, die sich später experimentell bestätigen ließ. Die Theorie der elliptischen Modulformen ist enorm umfangreich und bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Zwei der sieben Millennium-Probleme der Mathematik - die Riemannsche Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer - treffen Aussagen über Objekte - sog. L-Funktionen -, die unmittelbar mit elliptischen Modulformen verknüpft sind. Etwa besagt die Riemannsche Vermutung, dass sämtliche nichttriviale Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf einer gemeinsamen Geraden liegen - und damit die Primzahlen ein „möglichst zufälliges“ Verteilungsmuster aufweisen. Diese Gerade ist eine Spiegelungsgerade für die Werte der Zetafunktion - und diese Symmetrie rührt von einer Modulform her, die mit der Zetafunktion assoziiert ist. Um das Konzept einer elliptischen Modulform zu verstehen, kann es helfen, die trigonometrischen Funktionen, wie Sinus und Kosinus, als eine „Vorstufe“ zu sehen. Hier äußert sich die Symmetrie durch ihre Periodizität und ihr Spiegelungsverhalten an den Achsen bei gleichzeitiger Holomorphie (wenn auf komplexe Zahlen fortgesetzt). Im Falle der Modulformen kommen jedoch neben der Periodizität noch eine 'unendliche Anzahl' weiterer Funktionalgleichungen hinzu, was ihnen erheblich mehr Struktur verleiht. Im einfachsten Falle spricht man bei einer holomorphen Funktion : (als Funktion auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen) von einer ganzen, elliptischen Modulform des 'Gewichts' zur vollen Modulgruppe, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: # Funktionalgleichungen: für 'alle' ganzen Zahlen mit und 'alle' , # Wachstumsbedingung: existiert (mit dem Imaginärteil ). Durch die Wahl und ergibt sich :, weshalb jede Modulform eine periodische Funktion ist. Als solche kann sie, wegen ihrer Holomorphie, in eine Fourier-Reihe entwickelt werden: :, wobei die Wachstumsbedingung äquivalent zu für alle ist. Die Fourier-Koeffizienten tragen oft wichtige, zahlentheoretische Informationen. Zu den einfachsten Beispielen von Modulformen gehören die Eisensteinreihen. Etwas allgemeiner handelt es sich bei elliptischen Modulformen um auf der oberen Halbebene meromorphe Funktionen, die oberes Transformationsverhalten bezüglich ihrer Funktionswerte respektieren, und am Rand ihres Definitionsbereichs kein zu starkes Wachstum besitzen. Wichtiger Spezialfall ist der Begriff der Modulfunktion, der zum Gewicht korrespondiert und damit zusätzlich eine Form der absoluten Invarianz fordert, was eine höhere Anforderung als denen einer Modulform darstellt. Die Entdeckungsgeschichte der Modulformen lässt sich bis in die Anfänge des 19. Jahrhunderts zurückverfolgen, wo sie besonders mit Namen wie Carl Friedrich Gauß, Gotthold Eisenstein und Carl Gustav Jacobi assoziiert sind. Umfangreiche Forschungsprogramme ab dem 20. Jahrhundert haben jedoch zu sehr weitreichenden Verallgemeinerungen von „klassischen Modulformen“ geführt, und den Begriff der 'automorphen Formen' geprägt, die in der modernen Mathematik primär als Objekte der Darstellungstheorie gesehen werden. Neben den elliptischen Modulformen wurden viele weitere Arten von Modulformen gefunden, zum Beispiel Jacobiformen, Siegelsche Modulformen, Hilbertsche Modulformen sowie p-adische Modulformen. Dieser Artikel geht hinsichtlich der mathematischen Details primär auf die Standardsituation der vollen Modulgruppe ein, beleuchtet die Bedeutung der elliptischen Modulformen jedoch im Kontext sämtlicher Kongruenzuntergruppen. Für die mathematischen Details dieser Verallgemeinerung wird auf den Artikel Elliptische Modulformen zu Kongruenzuntergruppen verwiesen. Notation ====================================================================== Es werden die folgenden üblichen Notationen verwendet: * für die natürlichen Zahlen. * für die ganzen Zahlen. * für die rationalen Zahlen. * für die reellen Zahlen. * für die komplexen Zahlen. Es bezeichnen und den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl . * für die obere Halbebene. * und bezeichnen das übliche Summenzeichen bzw. Produktzeichen. * ist die Standardnotation in der Theorie der Modulformen für die Exponentialvariable. * ist die spezielle lineare Gruppe vom Rang 2 über den ganzen Zahlen. * ist die von Translationen erzeugte Untergruppe von . * Es bedeutet , dass ein Element der Menge ist, und dass es kein Element der Menge ist. Zum Beispiel ist und . * Es bezeichnet die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus. * Es bezeichnet die Kreiszahl. * Es bezeichnet die Fakultät von , und die Gammafunktion, die Fakultäten auf komplexe Zahlen erweitert. * Es bedeutet , dass die Zahl teilt, zum Beispiel . Ist das Symbol durchgestrichen, liegt keine Teilbarkeit vor, etwa . Komplexe Zahlen und die obere Halbebene ========================================= Die komplexen Zahlen spannen eine Ebene auf. Dabei existiert die „reelle Richtung“ (Achsenbeschriftung: 'Re') und die „imaginäre Richtung“ (Achsenbeschriftung: 'Im'). Illustration der oberen Halbebene. Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sogenannter 'imaginärer Zahlen'. Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung . Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl mit der Eigenschaft hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden. Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl ist von der Form mit reellen Zahlen und . Geht man Schritte in „reelle Richtung“ und Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl mit dem Punkt in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird als Realteil und als Imaginärteil von bezeichnet. Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel , und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden: : Dabei entsteht der Term beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt . Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen: : Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen , genau wie die reellen Zahlen , einen Körper bilden. Besonders wichtig in der Theorie der Modulformen ist die obere Halbebene der komplexen Zahlen. Dabei handelt es sich um jene komplexe Zahlen, deren Imaginärteil positiv ist. Abgekürzt wird dies in der Literatur häufig mit (aber auch und sind gängige Notationen). In Formeln schreibt man : Beispielsweise ist , aber . Die obere Halbebene ist der Definitionsbereich von Modulformen als Funktionen. Komplexe Funktionen ===================== Eine mathematische Funktion stellt ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen und über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen müssen die Regel erfüllen, dass 'jedem' Element aus 'genau ein' Element in zugeordnet wird. Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion .. Schaubild der 'reellen' Vorschrift 'Reelle' Funktionen induzieren „Tabellendaten“ der Form , wobei die Eingabewerte den Definitionsbereich von durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten und in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, 'alle' Werte aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen zu Punkten in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion. Für 'komplexe' Funktionen ist die Situation anders. Hier ist bereits der Eingangsbereich eine Fläche. Von daher müsste ein Schaubild nach Art reeller Funktionen vierdimensional sein, was nicht verständlich darstellbar ist. Ein Weg, komplexe, insbesondere holomorphe, Funktionen darzustellen, bedient sich eines Farbschlüssels. Einer komplexen Zahl wird je nach „Himmelsrichtung“ eine Farbe zugeordnet, wobei der Ursprung, also die Null, den Orientierungspunkt bildet. Zusätzlich wird mit der Helligkeit des Farbtons die Größe im Sinne des Abstands zum Ursprung visualisiert. Dabei bedeutet „dunkel“ nahe bei Null, und „hell“ nahe bei „Unendlich“. SinusTaylor1.svg|Der Farbschlüssel, gezeigt durch das Schaubild der Selbstabbildung . In etwa stehen rötliche Farben für komplexe Zahlen, die annähernd positiv reell sind. SquareComplex.svg|Schaubild der komplexen Quadratfunktion . Im Zentrum ist ihr Wert Null (schwarzer Punkt), denn . Von dort aus nimmt sie links und rechts, also auf der 'reellen Achse', rote Werte (siehe linken Farbschlüssel) an, denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ. Von der Mitte startend nach Nord oder Süd ist Türkis präsent: Die Quadrate rein imaginärer Zahlen sind negativ. ExpComplex.svg|Die komplexe Fortsetzung der Exponentialfunktion . Ihre Beträge werden mit wachsendem Realteil schnell größer (exponentielles Wachstum), das Schaubild also 'heller', und für fallende Realteile kleiner, das Schaubild also 'dunkler'. Parallel zur imaginären Achse des Eingabebereichs ist sie eine periodische Funktion. SinusComplex.svg|Auch beim komplexen Sinus ist die Periodizität gut zu erkennen - dieses Mal in reeller Ausrichtung, da . Seine Nullstellen an den Vielfachen der Kreiszahl sind durch die schwarzen Punkte zu erkennen. Nicht alle komplexen Funktionen sind auf der gesamten komplexen Ebene definiert. In etwa sind Modulformen nur auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen erklärt. Dort nehmen sie wieder komplexe Wert an. Ist also eine Modulform, so ergeben die Auswertungen und Sinn, nicht aber . Allgemein =========== Gruppen wurden in der Mathematik eingeführt, um das Rechnen mit Zahlen zu verallgemeinern. Bei einer Gruppe handelt es sich um eine Menge von Objekten, zum Beispiel die ganzen Zahlen : und eine Verknüpfung auf dieser Menge, sodass gewisse Eigenschaften erfüllt sind. Mit Verknüpfung ist gemeint, dass man aus je zwei Elementen der Menge ein neues Element derselben erzeugen kann. Abstrakt handelt es sich also um eine Abbildung : die einem Paar bestehend aus zwei Gruppenelementen ein neues Gruppenelement zuordnet. Im Falle der ganzen Zahlen ist eine solche zum Beispiel die Addition: Die Summe zweier ganzer Zahlen ist wiederum eine ganze Zahl. Also hat man: : Etwa gilt : Um wirklich von einer Gruppe mit Verknüpfung zu sprechen, muss zudem gelten: * Assoziativgesetz: Die Klammerung bei der Verknüpfung ist egal. Zum Beispiel gilt für alle . Es ist also unerheblich, welche Verknüpfung in einer Kette von solchen zuerst ausgeführt wird, solange die Reihenfolge der Elemente nicht verändert wird. Dies ist offenbar bei der Addition in den ganzen Zahlen erfüllt, etwa gilt . * Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element , das bei Verknüpfung mit einem beliebigen anderen Element dieses unverändert lässt. Es gilt also für 'alle' Elemente . In obigem Beispiel ist das neutrale Element die Null, denn es gilt und allgemein für jede (ganze) Zahl . * Existenz des Inversen: Zu 'jedem' Element gibt es ein Inverses, allgemein bezeichnet mit , sodass gilt, also unter Verknüpfung das neutrale Element herauskommt. In obigem Beispiel der ganzen Zahlen ist das Inverse zu , da stets gilt. Es gibt unter den Gruppen auch solche, die mit Zusatzeigenschaften auffallen. * Gilt zusätzlich zu den Gruppeneigenschaften noch das Kommutativgesetz, also für 'alle' , so spricht man auch von einer abelschen Gruppe (zu Ehren von Niels Henrik Abel). Zum Beispiel ist eine abelsche Gruppe, da die Summe zweier Zahlen nach deren Vertauschung unverändert bleibt. Die volle Modulgruppe ======================= Die 2x2-Determinante ist gleich dem 'orientierten' Flächeninhalt des von ihren Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms. Sie „misst“ die Änderung des Flächeninhaltes, wenn man ein Parallelogramm durch Matrizenmultiplikation in ein anderes umformt. Ist sie 1, so ändert sich zum Beispiel die von den Spaltenvektoren aufgespannte Fläche 'nicht' (Faktor 1), wenn man von und zu ihnen übergeht. Es gibt zahlreiche Beispiele für Gruppen, etwa die Menge der rationalen Zahlen ohne die Null, in Zeichen , mit der Multiplikation als Verknüpfung (das neutrale Element ist dann die ). Für die Theorie der Modulformen wichtig ist jedoch eine ganz bestimmte Gruppe, die 'spezielle lineare Gruppe über den ganzen Zahlen' (im Falle ) - kurz . Genannt wird diese auch einfach 'volle Modulgruppe'. Diese besteht aus -Matrizen mit ganzen Einträgen, deren Determinante gleich 1 ist. Einfach gesprochen handelt es sich dabei um Tabellen mit vier ganzen Einträgen, also zum Beispiel : Für eine allgemeine -Matrix : besagt die Bedingung Determinante = 1 aber noch zusätzlich : Obere Beispielmatrix liegt daher in , denn alle Einträge sind ganzzahlig und es gilt : Neben der komponentenweisen Addition für Matrizen, wie : unter derer jedoch 'nicht' zur Gruppe wird, existiert noch die Matrizenmultiplikation, in allgemeinen Symbolen: : und wie üblich bedeutet das gleiche wie . Unter dieser wird wegen der Rechenregel und die Menge zu einer (nicht-abelschen) Gruppe, da jede Matrix mit Determinante 1 auch eine Inverse (über ihrem Ring, in diesem Falle ) besitzt. Das neutrale Element der vollen Modulgruppe ist die Einheitsmatrix : Gruppenoperationen ==================== Die Achsendrehungen operieren als Gruppe auf der Menge „aller möglichen Farbzustände“ eines Zauberwürfels. Die Illustration zeigt eine Drehung um die horizontale Achse (hier etwas schräg) links außen - abstrakt gesehen ein Gruppenelement in allen Achsendrehungen. 'Vor der Drehung' (Bild) ist der Eingabewert, und 'nach der Drehung' der Ausgabewert der Funktion . Illustration der Operation erst von 3 und dann von −2 auf die reelle Zahl 0. In Verkettung ergibt sich 1: Es ist egal, ob verkettet wird mit (grün und blau), oder gebildet, und dieses als Element in auf 0 operiert (orange). Das Konzept der 'Gruppenoperation' (manchmal auch 'Gruppenwirkung') sieht vor, dass die Elemente einer Gruppe auf die Elemente einer Menge „zugreifen“, und diese „untereinander manipulieren“. Kurz gesagt wird jedes Gruppenelement zu einer 1:1-Abbildung , man hat also eine Zuweisung : und dieses Prozedere ist „verträglich“ mit der Gruppenstruktur. Anschaulich machen lässt sich dies an einem Beispiel. Gewählt wird (die reellen Zahlen) und mit der Addition. Jede ganze Zahl induziert nun eine 1:1-Abbildung via :. Damit wird jede ganze Zahl zu einer 'Funktion' . Zum Beispiel gilt : Jede dieser Abbildungen ist 1:1, kann doch sofort mit wieder umgekehrt werden. Entscheidend ist die Verträglichkeit zwischen Verkettung und Gruppenstruktur: Ist allgemein und das neutrale Element, so soll für 'alle' Elemente in 'immer' gelten: : Es ist also die triviale Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, und zudem egal, ob zwei Funktionen verkettet werden, oder stattdessen ihre Verknüpfung in gebildet wird, und die resultierende Funktion auf angewendet. Im Falle des Beispiels liegen diese Bedingungen auf der Hand, für ganze Zahlen und eine reelle Zahl gilt: : Zum Beispiel ist . Im Falle der Modulformen wird die Gruppenoperation der Gruppe auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen benötigt. Diese ist gegeben durch sog. Möbiustransformation. Eine Matrix : wird zu einer Funktion via : Dabei handelt es sich um eine linear-gebrochene Funktion. Es kann elementar - wenn auch aufwendig - nachgerechnet werden (Bruchrechnung), dass dies eine Gruppenoperation bildet. Wichtig ist dabei auch die Wohldefiniertheit, also dass die Funktionen tatsächlich abbilden. Es gilt allerdings für Matrizen aus : Orbiträume und Fundamentalbereiche der vollen Modulgruppe =========================================================== wobei der Charakter bezüglich der Diskriminante des Zahlkörpers , die Klassenzahl, die Anzahl der Einheiten im Ganzheitsring und die Gammafunktion bezeichnet. Diese Formel wurde 1949 von Chowla und Selberg publiziert, war aber bereits 1897 von Matyáš Lerch entdeckt worden. Die Weil-Vermutungen ====================== Die 'Weil-Vermutungen' wurden von André Weil in den 1940er-Jahren formuliert und betreffen die Gestalt der Zetafunktionen algebraischer Varietäten über endlichen Körpern. Ausgangspunkt ist die Idee, die von der Riemannschen Zetafunktion bekannte Verbindung zwischen Nullstellen, Polstellen und arithmetischer Struktur auf allgemeinere geometrische Objekte zu übertragen. Alexander Grothendieck Ein elementares Beispiel sind elliptische Kurven über endlichen Körpern. Ist eine elliptische Kurve über , dann betrachtet man die endliche Menge der Punkte über allen Erweiterungskörpern und formt daraus die Zetafunktion : Weil zeigte, dass diese Funktion stets die Gestalt : hat, wobei gilt. Die Zahl enthält also die Abweichung der Punktanzahl von der „Erwartung“ . Eine zentrale Aussage der Weil-Vermutungen besagt, dass die Nullstellen des Zählpolynoms den Betrag haben. Dies entspricht einer „Riemannschen Vermutung“ im endlichen Körperfall und liefert die nichttriviale Abschätzung : bekannt als Satz von Hasse für elliptische Kurven. Pierre Deligne Weil formulierte diese Vermutungen allgemein für beliebige projektive, nichtsinguläre Varietäten über endlichen Körpern: Rationalität, Funktionalgleichung, Interpretation der Zeta-Funktion über Kohomologie, und die analoge „Riemannsche Vermutung“ für die Lage der Nullstellen. Diese Aussagen wurden in den 1960er- und 1970er-Jahren schrittweise bewiesen, mit den entscheidenden Beiträgen von Alexander Grothendieck (Étalé-Kohomologie) und Pierre Deligne, der 1974 die schwierigste Komponente - die Riemannsche Vermutung für endliche Körper - vollendete. Bereits 1969 zeigte Deligne, dass die 1916 von Ramanujan vermutete obere Schranke für die tau-Funktion (später ausgeweitet auf Koeffizienten zu normierten Hecke-Eigenformen durch Petersson) aus der Richtigkeit der Weil-Vermutungen folgt. Diese Schranke spielt eine zentrale Rolle in der Theorie der Modulformen. Ist eine normierte Hecke-Eigenform, so erscheinen die Koeffizienten in den Euler-Produkten der zugehörigen L-Funktion. Die Deligne-Abschätzung garantiert, dass : wobei das Gewicht der Modulform ist. Es wird geschätzt, dass der Beweis in voller Länge um die 2000 Seiten umfasst. Yuri Manin nannte dies den Rekord des Verhältnisses „Beweislänge zu Länge der Aussage“. Mock-Modulformen und schwarze Löcher ====================================== Es ist durch wegweisende Arbeiten von Jacob Bekenstein und Stephen Hawking in den 1970er Jahren bekannt, dass schwarze Löcher eine thermodynamische Entropie besitzen und daher aus einer Sammlung mikroskopischer Quantenzustände bestehen sollten (siehe auch Bekenstein-Hawking-Entropie). Im Rahmen der Superstringtheorie können gewisse Anzahlen mikroskopischer Zustände in Verbindung gebracht werden, die das quantenstatistische System eines schwarzen Lochs bilden - was ihr thermodynamisches Verhalten aus einer fundamentaleren Perspektive erklärt. Der grundlegende Zusammenhang zu Modulformen ergibt sich aus der Beobachtung, dass in der einfachsten superstring-theoretischen Konstruktion die erzeugende Funktion der Anzahl der mikroskopischen Zustände eine Modulform ist. In einer Richtung fungiert die 'modulare Symmetrie' als mächtiger Leitfaden für die Berechnung von quantengravitativen Effekten auf die Entropie des schwarzen Lochs. In der anderen Richtung hat dieser Zusammenhang zur Entdeckung überraschender Beziehungen zwischen den „Mock-Modulformen“ - erste Beispiele wurden von Srinivasa Ramanujan bereits in der 1910ern konstruiert - und einer Klasse stringtheoretischer schwarzer Löcher geführt, was eine unendliche Anzahl neuer Beispiele für Mock-Modulformen liefert. Die Monstergruppe und „Monstrous Moonshine“ ============================================= Unter 'Monstrous Moonshine' versteht man ein überraschendes Phänomen, das 1979 von Conway und Norton entdeckt wurde: eine tiefe Verbindung zwischen der Theorie der Modulformen (insbesondere der j-Funktion) und der Darstellungstheorie der größten sporadischen einfachen Gruppe, des sog. Monsters. Die sporadischen Gruppen bilden eine kleine, „aus der Reihe fallende“ Sammlung von insgesamt 26 endlichen einfachen Gruppen, die nicht zu den unendlichen Familien der klassischen Gruppentheorie gehören. Sie wurden im 19. und 20. Jahrhundert entdeckt und gelten als besonders exotisch. Die größte sporadische einfache Gruppe, das sogenannte Monster (Bezeichnung: ), besitzt die enorme Ordnung : eine Zahl von ungefähr . Ihre Darstellungstheorie steht in einem bemerkenswerten Zusammenhang mit der Fourier-Entwicklung der j-Funktion : Bezeichnet man die Dimensionen der irreduziblen Darstellungen des Monsters mit , so lassen sich die ersten Koeffizienten der Reihe als Linearkombinationen dieser Zahlen schreiben. Konkret gilt : wobei die triviale und die kleinste nichttriviale Darstellung bezeichnet. Ebenso gilt : mit Für den nächsten Koeffizienten ergibt sich : mit Schließlich gilt : mit Richard Borcherds Die direkte Gegenüberstellung ergibt: : Diese auffälligen Übereinstimmungen bilden den Ausgangspunkt des sogenannten „Monstrous Moonshine“, in dem Conway und Norton eine systematische Verbindung zwischen den Koeffizienten von Modulformen und den Darstellungsdimensionen des Monsters formulierten. Der Beweis 1992 durch Richard Borcherds (Fields-Medaille 1998) zeigte, dass es ein graduell aufgebauten Modul gibt, auf dem das Monster operiert, so dass die Spurformen dieser Operationen genau die Fourier-Koeffizienten von geeigneten Modulformen (den sog. McKay-Thompson-Reihen) ergeben. Endliche Körper ================= Bemerkenswert ist, dass es auch Körper mit nur endlich vielen Elementen gibt. Da man in einem Körper immer wieder die Zahl addieren kann, muss es in einem endlichen Körper irgendwann passieren, dass : (bei endlich vielen Summanden). Die kleinste solche Zahl heißt die 'Charakteristik' des Körpers und ist stets eine Primzahl. Die einfachsten Beispiele endlicher Körper entstehen, wenn man mit Restklassen ganzer Zahlen modulo einer Primzahl rechnet. So bildet die Menge : mit den gewohnten Rechenregeln für Addition und Multiplikation von Resten (z. B. ) einen Körper. Dass die Division ebenfalls funktioniert, liegt daran, dass prim ist: Jedes von verschiedene Element besitzt ein multiplikatives Inverses. Allgemein gilt: Für jede Primzahl existiert ein endlicher Körper mit Elementen, bezeichnet als . Einführendes Beispiel anhand des quadratischen Falls ====================================================== Um zu verstehen, was elliptische Kurven mit Modulformen zu tun haben, ist es hilfreich, sich zunächst das Beispiel quadratischer Gleichungen anzusehen. Fred Diamond und Jerry Shurman weisen darauf hin, dass das quadratische Reziprozitätsgesetz dazu verwendet werden kann, die 'Anzahlen' der Lösungen modulo der Gleichung : als sog. Eigenwerte von linearen Abbildungen : zwischen einem zur Gleichung gehörigen -Vektorraum zu interpretieren. Zunächst hat über die Diskriminante , und die Gleichung insgesamt Lösungen, wenn : mit dem Legendre-Symbol . Es hängt die Größe wegen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes 'ausschließlich' von der Restklasse modulo ab. Der Schlüssel ist nun, über die eindeutige Primfaktorzerlegung die auf beliebige natürliche Argumente fortzusetzen mittels der Regel : Damit sind die vollständig multiplikativ, also gilt stets . Als Vektorraum kann man nun die Kollektion aller Abbildungen von der Gruppe der primen Restklassen modulo in die komplexen Zahlen definieren, also : Da die Gruppe endlich ist, ist endlichdimensional. Auf kann nun ein System von linearen Abbildungen (mit Primzahl) betrachtet werden: : Dabei verstehen sich die Reduktionen und modulo . Da man die als simultane Eigenwerte begreifen will, muss nun noch eine geeignete Funktion gefunden werden. Nach dem quadratischen Reziprozitätsgesetz ist die Wahl wohldefiniert. Mit der Multiplikativität der folgt : also Also ist ein Eigenvektor von mit Eigenwert . Der Modularitätssatz weitet dieses Prinzip auf kubische Gleichungen, genau genommen elliptische Kurven, aus. Auch hier treten Lösungsanzahlen als Eigenwerte zu bestimmten linearen Operatoren auf; dieses Mal sind es aber Hecke-Operatoren. Damit werden Charaktere durch Modulformen „ersetzt“, was hinsichtlich der darstellungstheoretischen Interpretation von Modulformen kein Zufall ist. Der Modularitätssatz ====================== Jeder elliptischen Kurve über mit Level kann eine L-Funktion zugeordnet werden, die als analytisches Objekt alle arithmetischen Eigenschaften kodiert. Diese besitzt eine Darstellung als Euler-Produkt: : wobei die für Primzahlen mit 'good reduction' gegeben sind durch und die Menge der Lösungen modulo bezeichnet. Für Primzahlen mit 'bad reduction' wird eine ähnliche Definition gewählt. Falls die Koeffizienten der Kurve keine ganzen Zahlen sind, muss dafür zunächst eine elementare Umformung über projektive Koordinaten vorgenommen werden. Andrew Wiles und anderen gelang mit dem Beweis des Modularitätssatzes die Bestätigung der Aussage, dass zu einer ganzen Funktion fortgesetzt werden kann und einer Funktionalgleichung genügt: Tatsächlich korrespondiert mit einer Modulform von Gewicht 2, deren Level mit dem Führer der elliptischen Kurve identisch ist. Es gilt: Modularitätssatz. Ist eine elliptische Kurve über den rationalen Zahlen mit Führer , so existiert eine normierte Hecke-Eigenform , so dass Formelhaft ergibt sich der Zusammenhang zwischen und via klassischer Mellin-Transformation: : Die Funktionalgleichung lautet dann : wobei das Vorzeichen eine wichtige Rolle für die Arithmetik von (also der rationalen Punkte auf ) spielt. Beispielsweise verschwindet mit gerader/ungerader Ordnung in , falls den Wert bzw. annimmt. Der Beweis des Großen Fermatschen Satzes ========================================== Als eine besonders prominente Anwendung der Theorie der elliptischen Modulformen gilt der Beweis des Großen Fermatschen Satzes aus der Zahlentheorie. Großer Fermatscher Satz. Die Gleichung ist für ganze Zahlen für keine natürlichen Zahlen und lösbar. Das bedeutet beispielsweise, dass eine positive Kubikzahl niemals in zwei positive Kubikzahlen zerfällt, weshalb es zum Beispiel niemals eine Gleichheit etwa zwischen : und geben kann. Im Jahr 1993 präsentierte Andrew Wiles in einer Vortragsreihe am Isaac Newton Institute in Cambridge einen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung (seit dem Beweis einfach Modularitätssatz), der, wenn korrekt, zugleich den großen Fermatschen Satz gelöst hätte. Bei der anschließenden Durchsicht durch Fachkollegen stellte sich jedoch heraus, dass der ursprüngliche Argumentationsgang eine schwerwiegende Lücke enthielt. In intensiver Zusammenarbeit mit seinem ehemaligen Schüler Richard Taylor gelang es Wiles im Jahr 1994, diese Lücke durch neue Ideen zu schließen. Damit war erstmals ein vollständiger und korrekt geprüfter Beweis verfügbar, der die jahrhundertelange offene Vermutung Fermats endgültig bestätigte. Das Argument von Wiles und Taylor ist hochkomplex und basiert auf tiefen Methoden der Zahlentheorie, insbesondere der Modulformen und der Galois-Darstellungen. Sein Kern lässt sich jedoch in einer vereinfachten Skizze darstellen, die die Grundidee als Beweis durch Widerspruch verdeutlicht: * Angenommen, es existierten ganze Zahlen mit , die ein Gegenbeispiel zum großen Fermatschen Satz liefern, also . Aus diesen Daten lässt sich die sogenannte 'Frey-Kurve' konstruieren, : Bereits 1986 hatte Gerhard Frey vermutet, dass eine solche Kurve nicht modular sein könne. Dies wurde 1990 durch eine präzise Argumentation von Jean-Pierre Serre und den Beweis von Kenneth Alan Ribet bestätigt. * Die Taniyama-Shimura-Vermutung (benannt nach Yutaka Taniyama und Gorō Shimura, teils auch nach André Weil) behauptet hingegen, dass jede elliptische Kurve über den rationalen Zahlen tatsächlich modular ist. Genau diesen Sachverhalt bewiesen Wiles und Taylor 1994 für eine hinreichend große Klasse elliptischer Kurven - darunter auch die Frey-Kurven - die damit nicht existieren können. Da die Frey-Kurve zugleich nach Ribets Resultat nicht modular und nach Taniyama-Shimura modular sein müsste, ergibt sich ein Widerspruch. Die einzige Möglichkeit, diesen Widerspruch aufzulösen, ist, dass die Annahme eines Gegenbeispiels zum großen Fermatschen Satz falsch war. Damit ist der Satz bewiesen. Gerhard Frey, Boston 1995.JPG|Gerhard Frey vermutete, dass im Falle von die sog. Frey-Kurve 'nicht' modular ist. Ken Ribet, Boston 1995.JPG|Ken Ribet zeigte, dass Freys Vermutung zutrifft. Andrew Wiles, Boston 1995.JPG|Andrew Wiles zeigte, dass 'jede' semistabile elliptische Kurve, auch alle Frey-Kurven, modular ist. Sein erster Beweis enthielt jedoch eine Lücke. Richard Taylor, Edinburgh 1996.JPG|Zusammen mit seinem Schüler Richard Taylor konnte Andrew Wiles die Lücke im Beweis schließen. Der Große Fermatsche Satz war damit bewiesen. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ============================================= Nach dem Satz von Mordell-Weil ist die Gruppe der rationalen Punkte auf einer elliptischen Kurve endlich erzeugt. Nach der Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen gibt es also ein , der 'algebraische Rang' von , sodass : wobei der Torsionsteil ist, also alle Punkte, die sich bei ständiger Addition mit sich selbst „im Kreis bewegen“. Der 'analytische Rang' der elliptischen Kurve definiert sich nun über die Nullstellenordnung von im Punkt . Dieser wird auch als 'kritischer Punkt' von bezeichnet. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besagt nun, dass analytischer und algebraischer Rang von 'identisch' sind. Der Modularitätssatz garantiert, dass sich die Funktion zu einer ganzen Funktion fortsetzt. Dies erlaubt die Formulierung der: Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Es sei eine elliptische Kurve, definiert über den rationalen Zahlen. Ist nun , so gilt . Kurz gesprochen besagt die Vermutung also, dass die Anzahl der rationalen Punkte auf durch das Verhalten von im Punkt kodiert ist. Dichteste Kugelpackungen ========================== Maryna Viazovska Pyramide aus dichtest gepackten Kugeln im dreidimensionalen Raum. Im Jahr 2016 gelang Maryna Viazovska ein spektakulärer Durchbruch: Sie löste unter Verwendung von Modulformen das klassische Problem der dichtesten Kugelpackung im 8-dimensionalen Raum. Dieses Problem, das bis dahin trotz vieler Teilergebnisse jahrzehntelang offen gewesen war, gehört zu den Grundfragen der diskreten Geometrie und Zahlentheorie. Viazovskas Ansatz gilt als Paradebeispiel dafür, wie hochentwickelte analytische Methoden zur Lösung sehr elementar formulierbarer kombinatorischer Probleme eingesetzt werden können. Für diese Leistung wurde sie 2022 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet. Allgemein versteht man unter einer 'Sphärischen-Packung' im -dimensionalen euklidischen Raum (mit Norm und Lebesgue-Maß ) eine Vereinigung von disjunkten Einheitskugeln um die Punkte einer diskreten Menge , d. h. : Ist die Menge ein Gitter, so spricht man von einer 'Sphärischen-Gitterpackung'. Die fundamentale Frage lautet, wie groß die Dichte einer solchen Packung höchstens sein kann, also welcher Anteil des Raumes asymptotisch von den Kugeln ausgefüllt wird. Für niedrige Dimensionen und waren optimale Lösungen seit Langem bekannt (hexagonale Packung bzw. Kepler-Vermutung), für höhere Dimensionen blieb das Problem jedoch weitgehend unzugänglich. Viazovska konnte zeigen, dass für das Supremum über alle möglichen Kugelpackungsdichten exakt von der -Gitterpackung erreicht wird. Ihre Arbeit nutzt geschickt konstruierte Hilfsfunktionen, die zugleich analytische und modulare Symmetrien besitzen, und stellt damit eine tiefe Verbindung zwischen Analysis, Zahlentheorie und Geometrie her. Präzise gilt : wobei der Wert auf der rechten Seite genau der Dichte der -Gitterpackung entspricht. Das Langlands-Programm ======================== Einen Ausgangspunkt für das Verständnis des Langlands-Programms bildet der klassische Satz von Kronecker-Weber. Er besagt, dass jede abelsche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen in einem zyklotomischen Zahlkörper enthalten ist, wobei eine primitive -te Einheitswurzel bezeichnet. Anders gesagt: Alle abelschen Erweiterungen von lassen sich durch Hinzufügen geeigneter Einheitswurzeln über Unterkörper gewinnen. Damit entsteht eine erste „Brücke“ zwischen Zahlkörpern und speziellen analytischen Funktionen, hier der Exponentialfunktion über den Zusammenhang . Um die „analytische Seite“ dieses Resultates zu sehen, ist folgende Formulierung hinreichend. Für diese wird das Konzept der Dirichletschen L-Funktion und der L-Funktion zu Galois-Charakteren , :, benötigt, wobei das Produkt über alle Primideale im Ganzheitsring von läuft, die Idealnorm und das Frobenius-Element bezeichnet. Satz von Kronecker-Weber (analytische Version). Es sei eine endliche, abelsche (Galois-)Erweiterung, und ein Galois-Charakter. Dann existiert ein eindeutig bestimmter, primitiver Dirichlet-Charakter , sodass : Robert Langlands Das von Robert Langlands im Jahr 1967 in einem Brief an Weil vorgeschlagene Programm verallgemeinert diese Beobachtung in umfassender Weise. Es vermutet eine Korrespondenz zwischen zwei auf den ersten Blick sehr verschiedenen Welten: * der Theorie der Darstellungen von Galoisgruppen (bzw. allgemeiner Motive) auf der algebraischen Seite, * und der Theorie der 'automorphen Formen' (dazu gehören auch Modulformen) und ihrer L-Funktionen auf der analytischen Seite. Die Grundidee ist, dass jede „geeignete“ Galois-Darstellung durch eine automorphe Form „erklärt“ wird - und dass die L-Funktionen auf beiden Seiten übereinstimmen. Der Modularitätssatz für elliptische Kurven über , der im Beweis des großen Fermatschen Satzes eine entscheidende Rolle spielte, kann als ein Spezialfall dieses Prinzips verstanden werden: Die Galois-Darstellung, die aus den -adischen Torsionspunkten einer elliptischen Kurve entsteht, entspricht der automorphen Darstellung einer Modulform vom Gewicht 2. Das Langlands-Programm erhebt diesen Spezialfall zum universellen Prinzip: Jede arithmetisch definierte Struktur soll sich über eine automorphe Entsprechung analysieren lassen. Damit stellt es ein gewaltiges, noch längst nicht vollständig gelöstes Forschungsprogramm dar, das als eine Art „Große Vereinheitlichung“ der modernen Zahlentheorie gilt. Seine Konsequenzen reichen von der Klassifikation einfacher Gruppen und Darstellungen bis hin zu offenen Vermutungen über die Verteilung von Primzahlen und die Gestalt von L-Funktionen. Grundlegende algebraische Strukturen ====================================== Die Modulformen vom Gewicht bilden einen -Vektorraum (also ein Vektorraum über den komplexen Zahlen), ebenso die ganzen Modulformen und auch die Spitzenformen. Es sind folgende Notationen gebräuchlich: * ist der Vektorraum der (meromorphen) Modulformen vom Gewicht zur vollen Modulgruppe, * ist der Vektorraum der ganzen Modulformen vom Gewicht zur vollen Modulgruppe * ist der Vektorraum der Spitzenformen vom Gewicht zur vollen Modulgruppe, * ist der Vektorraum der schwach holomorphen Modulformen vom Gewicht zur vollen Modulgruppe, d. h., es sind Polstellen in zugelassen. Offenbar gilt: : Das Produkt zweier Modulformen der Gewichte und ist eine Modulform des Gewichts , also gilt . Selbiges gilt für Spitzenformen und schwach holomorphe Modulformen. Demnach hat man : als aufsteigende Kette graduierter Algebren. Dabei bezeichnet die direkte Summe. Die Spitzenformen können ferner als ein Ideal im Ring aufgefasst werden, denn sie bilden den Kern des Ringhomomorphismus : der komponentenweise vollzieht, also jede Modulform auf ihren nullten Fourier-Koeffizienten sendet. Die Valenzformel, Dimensionsformeln ===================================== Im Folgenden ist eine gerade, ganze Zahl. Wegen ihrer starken Transformationseigenschaften kombiniert mit der Theorie meromorpher Funktionen können restriktive Eigenschaften an die Null- und Polstellen von Modulformen gestellt werden. Unter Anwendung des Residuensatzes ergibt sich die berühmte 'Valenzformel', manchmal auch '-Formel' oder 'Gewichtsformel' genannt: : Hierbei ist und es steht für die Ordnung der Funktion im Punkt . Im Falle kann man diese direkt an der Fourier-Entwicklung ablesen - der Index des ersten nicht-verschwindenden Koeffizienten definiert die Ordnung. An Nullstellen ist diese positiv (und entspricht der Vielfachheit der Nullstelle), an Polstellen ist sie entsprechend negativ. Sie kann als ein Analogon zu den Liouvilleschen Sätzen aus der Theorie der elliptischen Funktionen gesehen werden. Interpretiert man Modulformen des Gewichts ferner als sog. meromorphe k-Formen auf der Modulkurve , ist ein Beweis der Valenzformel auch über den Satz von Riemann-Roch möglich. Die Valenzformel hat weitreichende Konsequenzen - im Besonderen für die Theorie ganzer Modulformen. In diesem Spezialfall sind alle Ordnungen nicht-negativ, da nirgends Polstellen vorliegen. Eine direkte Konsequenz ist, dass es keine nichttrivialen ganzen Modulformen zum Gewicht und Gewichten zur vollen Modulgruppe geben kann, da es in etwa bei keine Kombination schafft, auf den Wert auf der rechten Seite zu kommen. Allgemein lassen sich mit der Valenzformel Dimensionsformeln für die bzw. ableiten. Es gilt für gerade : : : Dabei steht für die größte ganze Zahl, sodass , siehe auch Gauß-Klammer. Die Tatsache, dass dies 'endlichdimensionale' Vektorräume sind, ist einer der wesentlichen Gründe, weshalb die Theorie der (ganzen) Modulformen so bedeutend für die Zahlentheorie ist. Ein Grund für die Nützlichkeit von Modulformen in unterschiedlichsten Anwendung ist dabei insbesondere, dass sie zwar häufig unterschiedliche Beschreibungen in den verschiedensten Anwendungen haben, man aber sofort Verbindungen unter den Modulformen findet, da die Vektorräume von relativ kleiner Dimension sind. Struktursätze =============== Da durch die Multiplikation mit der Spitzenform (Diskriminante) vom Gewicht 12 ein Isomorphismus von nach gegeben ist, gilt : Die Vektorräume für sind eindimensional und werden erzeugt von den und für zweidimensional, erzeugt von und mit den Eisensteinreihen .. Allgemein kann man zeigen, dass alle Elemente von durch Polynome in erzeugt werden, und dies sogar eindeutig: : Es ist aber häufig nützlicher, Basen von Eigenformen der Hecke-Operatoren zu verwenden (Atkin-Lehner-Theorie). Zudem gilt stets die Zerlegung :, d. h. jede Modulform kann auf eindeutige Weise als Summe einer (skalierten) Eisensteinreihe und einer Spitzenform geschrieben werden. Dieses Prinzip überträgt sich auch auf Kongruenzuntergruppen. Der Körper der Modulfunktionen kann indes genau beschrieben werden. Er ist gegeben durch : Somit ist jede Modulfunktion eine rationale Funktion in , und umgekehrt. Aus diesem Grund wird auch als „die“ Modulfunktion angesehen. Man kann mit dem Satz von Riemann-Roch Aussagen über die Dimension der Vektorräume der ganzen Modulformen und Spitzenformen zu Kongruenzuntergruppen machen. Wachstumsverhalten zum Rand der oberen Halbebene ================================================== Ist mit , so gilt : 'gleichmäßig' in , wenn . Für Spitzenformen kann dies verbessert werden. Ist sogar , so gilt : 'gleichmäßig' in , wenn . Wichtig ist, dass selbst nichttriviale Spitzenformen keinesfalls beschränkt sind mit zunehmender Nähe von , da ihr Verschwinden nur in Umgebungen rationaler Zahlen (in der Topologie auf ) „bemerkbar“ wird. Hecke-Operatoren und Hecke-Theorie ====================================================================== Erich Hecke Für die volle Modulgruppe lassen sich auf dem Vektorraum der Modulformen vom Gewicht die sogenannten 'Hecke-Operatoren' definieren, benannt nach Erich Hecke. Diese Operatoren liefern eine Familie von kommutierenden, bezgl. des Petersson-Skalarproduktes (siehe unten) selbstadjungierten Endomorphismen mit tiefer arithmetischer Bedeutung. Die Hecke-Theorie liefert eine kanonische Basis von Eigenformen mit arithmetisch bedeutenden Fourier-Koeffizienten. Ihre Koeffizienten sind multiplikativ und erfüllen gewisse Rekursionen. Damit schlägt die Theorie eine Brücke zwischen Modulformen, L-Funktionen und Galois-Darstellungen. Sie bildet zudem den Ausgangspunkt für die moderne Modultheorie in der Zahlentheorie, einschließlich des Langlands-Programms und des Beweises des großen Fermatschen Satzes. Definition der Hecke-Operatoren ================================= Für eine ganze Modulform vom Gewicht und für eine natürliche Zahl ist der Hecke-Operator durch : definiert. Er schickt Spitzenformen auf Spitzenformen, kann also zu einem Endomorphismus eingeschränkt werden. Zu beachten ist, dass auch vom Gewicht abhängt, diese Abhängigkeit aber oft nicht angezeigt wird, da sie sich meist aus dem Kontext ergibt. In der Darstellung mittels Fourier-Reihen wirkt auf die Koeffizienten durch : Eigenschaften =============== Die Hecke-Operatoren erfüllen eine Reihe an nützlichen und wichtigen Eigenschaften. Die Operatoren und kommutieren für alle : . Ferner gilt die Multiplikativitätsrelation : Insbesondere gilt für teilerfremde . Diese Relation lässt sich auch formal über ein Euler-Produkt ausdrücken: : Für Primzahlen vereinfacht sich dies zu : Hecke-Eigenformen =================== Eine Modulform heißt 'Hecke-Eigenform' (oder kurz 'Eigenform'), wenn sie simultan Eigenfunktion aller ist. Für eine normierte Eigenform (d. h. ) gilt dann : wobei die Fourier-Koeffizienten von sind (siehe oben). Die Multiplikativitätsrelation der überträgt sich auf die Koeffizienten: * , falls . * Für Primzahlpotenzen gilt die Rekursion : Arithmetische Bedeutung ========================= Die Hecke-Eigenwerte einer normierten Eigenform mit Primzahlen induzieren die Euler-Faktoren der zugehörigen L-Funktion: : Es kann gezeigt werden, dass 'genau dann' eine solche Produktentwicklung vorliegt, wenn eine normierte Hecke-Eigenform ist. Diese Euler-Produkte verbinden Modulformen mit der Zahlentheorie (z. B. Darstellung von Primzahlen, Verteilung der , Verknüpfung mit Galois-Darstellungen). Delignes Beweis der Weil-Vermutungen lieferte die scharfe Schranke : für Eigenformen und Primzahlen . Die Verteilung der Werte : im Intervall ist Gegenstand der Sato-Tate-Vermutung. Petersson-Skalarprodukt ====================================================================== Für Modulformen zur vollen Modulgruppe spielt das 'Petersson-Skalarprodukt' eine zentrale Rolle. Ist eine Spitzenform vom Gewicht mit Fourier-Entwicklung : und ebenso , so definiert man : Hierbei bedeutet die komplexe Konjugation. Das Integral läuft über einen Fundamentalbereich der vollen Modulgruppe und konvergiert für Spitzenformen. Hans Petersson führte das Petersson-Skalarprodukt im Raum der Spitzenformen ein und machte diese damit zu einem Hilbertraum. Besonders wichtig ist, dass die Hecke-Operatoren selbstadjungiert bezüglich dieses Skalarprodukts sind, also : Daraus folgt über elementare lineare Algebra, dass es eine orthogonale Basis von Hecke-Eigenformen gibt. Eisensteinreihen sind bezüglich des Petersson-Skalarprodukts orthogonal zu den Spitzenformen. Dies kann zum Beispiel mit der Petersson-Koeffizientenformel eingesehen werden, siehe im Abschnitt zu Poincaré-Reihen. Die Norm einer Eigenform enthält tiefe arithmetische Informationen. Über Rankins Methode und spezielle Werte von L-Funktionen lassen sich diese Normen explizit berechnen (siehe unten). Damit verbindet das Petersson-Skalarprodukt die analytische Struktur der Modulformenräume mit den arithmetischen Eigenschaften ihrer Fourier-Koeffizienten. Poincaré-Reihen ====================================================================== Henri Poincaré Poincaré-Reihen, benannt nach Henri Poincaré, sind ein grundlegendes Werkzeug zur expliziten Konstruktion von Modulformen. Sie entstehen durch periodisches Fortsetzen einer einfach strukturierten Funktion über die volle Modulgruppe. Gleichzeitig verallgemeinern sie die Eisensteinreihen. Definition ============ Für gerade, ganze Zahlen und definiert man die holomorphe 'Poincaré-Reihe' : wobei und die Untergruppe der Translationen ist. Der Summand ist so gewählt, dass er invariantes Gewicht hat. Für konvergiert die Reihe absolut und definiert eine Spitzenform vom Gewicht . Sie können, wie auch die Eisensteinreihen, auf Kongruenzuntergruppen verallgemeinert werden. Es kann gezeigt werden, dass sie für Spitzenformen sind und den gesamten Raum aufspannen. Die L-Reihe von wird durch die Dirichlet-Reihe : definiert. Da für die Fourier-Koeffizienten ganzer Modulformen gilt, wird diese Reihe für alle stets absolut und lokal gleichmäßig konvergieren, und dort eine holomorphe Funktion darstellen. Für Spitzenformen dehnt sich wegen des langsameren Wachstums der Koeffizienten der absolute Konvergenzbereich nach Hecke bis zu , und nach Deligne sogar bis nach . Ist eine normierte Hecke-Eigenform, so besitzt zusätzlich ein Euler-Produkt: : In diesem Fall spricht man auch von einer 'Hecke-L-Funktion', oder kurz 'L-Funktion'. Letzteres ist weniger spezifisch, da es auch L-Funktionen zu anderen Objekten als Modulformen gibt. Eine andere Darstellungsmöglichkeit ist : wobei die Werte und die Nullstellen des quadratischen Polynoms sind, und : erfüllen. Das Euler-Produkt bildet das Fundament für die zahlentheoretische Bedeutung der Hecke-Eigenformen. Fourier-Entwicklung ===================== Die Poincaré-Reihen besitzen eine explizite Fourier-Entwicklung der Form : Die Koeffizienten lassen sich durch Kloosterman-Summen und Bessel-Funktionen ausdrücken: : wobei das Kronecker-Delta bezeichnet und : (mit ) die Kloosterman-Summe und die Bessel-Funktion ist. Petersson-Koeffizientenformel =============================== Ein wesentliches Strukturmerkmal ist die Orthogonalität im Petersson-Skalarprodukt. Für jede Spitzenform gilt : Damit erlaubt es die Familie der Poincaré-Reihen die Fourier-Koeffizienten beliebiger Spitzenformen direkt über das Skalarprodukt mit zu rekonstruieren. Auch für behält die Koeffizientenformel ihre Gültigkeit, was zeigt, dass Eisensteinreihen orthogonal auf den Spitzenformen stehen. Eigenschaften der Fourier-Koeffizienten ====================================================================== Die Fourier-Entwicklungen von Modulformen zur vollen Modulgruppe enthalten arithmetisch bedeutende Koeffizienten. Es stellt sich die grundlegende Frage, wie groß diese Koeffizienten asymptotisch werden können. Die Situation unterscheidet sich deutlich zwischen Eisensteinreihen und Spitzenformen. Für eine Eisensteinreihe : sind die Fourier-Koeffizienten (im Wesentlichen) durch die Teilerfunktionen gegeben. Mit elementaren Mitteln folgt sofort für : Damit erhält man eine aus mathematischer Sicht sehr präzise Kontrolle über die Größenordnung der Koeffizienten der Eisensteinreihen. Für Spitzenformen ist die Lage subtiler. Bereits aus dem Verschwinden des konstanten Terms und der Orthogonalität bezüglich des Petersson-Skalarprodukts folgt eine nichttriviale obere Abschätzung der Koeffizienten. Mit Hilfe elementarer Fourieranalysis lässt sich die Schranke : zeigen. Diese ergibt sich aus der Tatsache, dass gleichmäßig in angewendet auf das Integral : bei optimaler Wahl . Feinere Methoden führen weiter: Mit dem Petersson-Skalarprodukt und der Theorie der Bessel- und Kloosterman-Summen gelang es, nichttriviale Abschätzungen zu gewinnen. Etwa bewies Rankin 1939 : was zwar schwächer ist als Delignes scharfe Schranke, aber deutlich stärker als Heckes Abschätzung. Rankins Ergebnis wurde später durch Selberg (für alle ) auf : verbessert, wobei dieser von André Weil gegebene Abschätzungen von Kloosterman-Summen nutzte. Diese sind gegeben durch : und führen im Falle Primzahl mit zum berühmten Spezialfall : Den entscheidenden Fortschritt brachte Delignes Beweis der Weil-Vermutungen, der die scharfe Schranke : für die Fourier-Koeffizienten von Eigenformen an Primzahlen liefert. Daraus folgt allgemein : was asymptotisch sogar optimal ist. L-Reihen und L-Funktionen zu elliptischen Modulformen ====================================================================== Zu jeder ganzen Modulform : vom Gewicht zur vollen Modulgruppe lässt sich eine L-Reihe definieren. Diese wird auch als 'Hecke-L-Reihe' bezeichnet. Dieses Konzept spielt eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie und bildet die Brücke zwischen der Theorie der Modulformen und der klassischen Theorie der Zetafunktionen. Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn die L-Reihe ein Euler-Produkt besitzt. Nur in diesem Fall spricht man auch von einer L-Funktion (siehe auch Selberg-Klasse). Diese Unterscheidung (L-Reihe und L-Funktion) wird in der Literatur jedoch nicht immer einheitlich gehandhabt - gelegentlich wird in 'allen' Fällen von „L-Funktion“ gesprochen. Holomorphe Fortsetzung und Funktionalgleichung ================================================ Mit Hilfe der Mellin-Transformation lässt sich zeigen, dass eine meromorphe Fortsetzung auf die gesamte komplexe Ebene besitzt, die sogar holomorph in ganz ist. In hingegen besitzt höchstens einen einfachen Pol. Genau dann ist eine Spitzenform, wenn sich sogar zu einer ganzen Funktion fortsetzt. Es gilt stets und für alle ganzen . Zudem gilt eine Funktionalgleichung. Man definiert dazu die 'vervollständigte L-Reihe' : Diese erfüllt die Funktionalgleichung : und ist auf sämtlichen Vertikalstreifen für beschränkt. Dies ist die exakte Analogie zur Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. Der Beweis der Funktionalgleichung, hier exemplarisch für , wird traditionell mittels der Mellin-Transformation geführt. Über die Entwicklung ergibt diese : Die Modularität liefert für die Relation . Zerlegt man das Integral bei 1 und substituiert im unteren Teil, so erhält man : Vergleicht man mit der Darstellung von , so folgt unmittelbar : Der Umkehrsatz von Hecke ========================== Der Hecke-Umkehrsatz besagt, dass jede Dirichlet-Reihe : die sich zu einer in ganz holomorphen Funktion fortsetzt mit einem einfachen Pol in , die entsprechende Funktionalgleichung oben erfüllt, und deren Vervollständigung auf sämtlichen Vertikalstreifen für beschränkt ist, tatsächlich von einer Modulform vom Gewicht zur vollen Modulgruppe stammt. Es gibt also eine ganze Modulform des Gewichts , sodass für alle , und ferner : Damit ist der Umkehrsatz von Hecke die Brücke zwischen analytischen Eigenschaften einer L-Reihe und der Existenz einer zugrunde liegenden Modulform. Dieses Prinzip ist in verallgemeinerter Form ein Grundpfeiler des Langlands-Programms. Beispiele =========== * Für die Diskriminante ergibt sich : * Für Eisensteinreihen lassen sich die L-Reihen (bis auf Vorfaktor L-Funktionen) in Produkte klassischer Zetafunktionen zerlegen, zum Beispiel : : wobei die -te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Manins Resultat über kritische Werte von L-Funktionen ======================================================= Es bezeichnet : eine normierte Hecke-Eigenform vom Gewicht zur vollen Modulgruppe, mit Zahlkörper . Die ganzzahligen Stellen der zugehörigen L-Funktion sind die 'kritischen Werte', da diese nicht wegen eines Gammafaktors verschwinden müssen. Yuri Manin zeigte, dass es zwei von abhängige, positiv reelle 'Perioden' gibt, so dass für alle kritischen Werte : und : wobei das Vorzeichen also allein durch die Parität von bestimmt ist (die beiden Familien geradzahliger bzw. ungeradzahliger teilen sich jeweils eine gemeinsame Periode) Insbesondere sind daher alle Quotienten zweier kritischer Werte nach derselben Normalisierung algebraisch: : sofern . Rankin–Selberg-Theorie ====================================================================== Atle Selberg Die Rankin-Selberg-Theorie, benannt nach Robert Alexander Rankin und Atle Selberg, liefert eine Methode, um aus zwei Modulformen eine L-Funktion zu konstruieren und deren analytische Eigenschaften zu untersuchen. Sind : und Spitzenformen vom Gewicht , so definiert man : Die zentrale Beobachtung ist, dass sich dieses Dirichlet-Reihenprodukt als Mellin-Transformation eines Integrals darstellen lässt. Es gilt die Identität : wobei die Gammafunktion und die Untergruppe aller Translationen in der vollen Modulgruppe bezeichnet. Dadurch überträgt sich die analytische Fortsetzung und die Funktionalgleichung des Integrals auf .. Ferner kann auf diese Weise gezeigt werden, dass die Reihe : für alle Werte 'absolut' konvergiert, sich meromorph nach fortsetzen lässt, und in einen Pol erster Ordnung besitzt (sofern ). Besonders interessant ist dies für den Spezialfall , der zur klassischen 'Rankin-Zetafunktion' : korrespondiert. Schlüsselidentität ist : wobei im zweiten Schritt die Parsevalsche Identität : genutzt wurde. Zum Vertauschen von Integral und Summe dient der Satz von Lebesgue und die von Hecke bekannte, in gleichmäßige Abschätzung .. Aus der klassischen Schranke von Hecke ist die Konvergenz der Reihe im Streifen nicht zu folgern und somit hochgradig nichttrivial. Ferner ist die Rankin-Zetafunktion eng mit der Norm im Petersson-Skalarprodukt verknüpft, nämlich über das Residuum in : : Daraus ergibt sich eine Interpretation der Norm von Eigenformen in Bezug auf spezielle Werte von L-Funktionen. Eine erste bedeutende Anwendung der Theorie stammt von Rankin aus dem Jahr 1939. Mit Hilfe eines technischen Satzes von Edmund Landau zeigte er : wobei eine schwächere Aussage (ohne Fehlerterm) bereits mit einem Taubersatz gewonnen werden kann. Daniel Bump merkte an, man könne dies so interpretieren, dass die scharfe Abschätzung von Deligne „im Durchschnitt“ erfüllt sei. Eine weitere Anwendung ist die Eichler-Selberg-Spurformel. Sie liefert eine exakte Formel für die Spur der Hecke-Operatoren auf dem Raum der Spitzenformen vom Gewicht zur vollen Modulgruppe. Literatur ====================================================================== * Tom M. Apostol: 'Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory.' 2. Auflage. Springer Science+Business Media, Berlin 1990, ISBN 3-540-97127-0. * Siegfried Bosch: 'Algebra.' 10. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-67463-5. * Kathrin Bringmann, Amanda Folsom, Ken Ono, Larry Rolen: 'Harmonic Maass Forms and Mock Modular Forms: Theory and Applications.' (= 'Colloquium Publications.' Band 64). American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2017, ISBN 978-1-4704-1944-8. * Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: 'The 1-2-3 of Modular Forms. Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway.' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-74117-6. * Daniel Bump: 'Automorphic forms and representations.' Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-65818-7. * Paul J. McCarthy: 'Arithmetische Funktionen.' Springer Vieweg, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-53731-2. * Henri Cohen: 'Elliptic Curves.' In: M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson: 'From Number Theory to Physics.' Second Corrected Printing. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1995, ISBN 3-540-53342-7, Kapitel 3, S. 212-237. * Henri Cohen: 'Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations.' Springer-Verlag, New York 2007, ISBN 978-0-387-49922-2. * Henri Cohen: 'Number Theory. Volume II: Analytic and Modern Tools.' Springer-Verlag, New York 2007, ISBN 978-0-387-49893-5. * Henri Cohen, Fredrik Strömberg: 'Modular Forms. A Classical Approach.' (= 'Graduate Studies in Mathematics.' Band 179). American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2017, ISBN 978-0-8218-4947-7. * Gary Cornell, Joseph H. Silverman, Glenn Stevens (Hrsg.): 'Modular Forms and Fermat’s Last Theorem.' Springer-Verlag, New York 1997, ISBN 0-387-94609-8. * Henri Darmon: 'Rational points on modular elliptic curves.' Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society, Number 101. * Anton Deitmar: 'Automorphe Formen.' Springer-Lehrbuch Masterclass. Springer, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-12389-4. * Fred Diamond, Jerry Shurman: 'A First Course in Modular Forms.' Springer-Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-23229-X. * Bas Edixhoven, Gerard van der Geer, Ben Moonen: 'Modular Forms.' In: Bas Edixhoven, Gerard van der Geer, Ben Moonen (Hrsg.): 'Modular Forms on Schiermonnikoog.' Cambridge University Press, Cambridge. Chapter 1, ISBN 978-0-521-49354-3, S. 1-12. * Eberhard Freitag, Rolf Busam: 'Funktionentheorie 1.' 4. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-31764-3. * Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: 'An Introduction to the Theory of Numbers.' 6. Auflage. Edited by Roger Heath-Brown, Joseph Silverman, and Andrew Wiles. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921986-5. * Peter Henrici: 'Applied and Computational Complex Analysis. Volume 2: Special Functions - Integral-Transforms - Asymptotics - Continued Fractions.' John Wiley & Sons, New York London Sydney Toronto 1977, ISBN 0-471-01525-3. * Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski: 'Analytic Number Theory.' Colloquium Publications, Vol. 53, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, ISBN 0-8218-3633-1. * Lloyd J. P. Kilford: 'Modular Forms: A Classical and Computational Introduction.' Imperial College Press, London, 2008, ISBN 978-1-84816-213-6. * * Neal Koblitz: 'Introduction to elliptic curves and modular forms.' Springer-Verlag, Berlin 1984, ISBN 3-540-96029-5. * Max Koecher, Aloys Krieg: 'Elliptische Funktionen und Modulformen.' 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-49324-2. * Jacob Korevaar: 'Tauberian Theory: A Century of Developments.' (= 'Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften.' Band 329). Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-21058-X. * Dimitris Koukoulopoulos: 'The Distribution of Prime Numbers.' (= 'Graduate Studies in Mathematics.' Band 203). American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2019, ISBN 978-1-4704-6285-7. * Emmanuel Kowalski: 'Elementary theory of L-Functions I.' In: Joseph Bernstein, Stephen Gelbart (Hrsg.): 'An introduction to the Langlands Program.' Birkhäuser, Boston, 2004, ISBN 0-8176-3211-5, Chapter 1, S. 1-20. * Emmanuel Kowalski: 'Elementary theory of L-Functions I.' In: Joseph Bernstein, Stephen Gelbart (Hrsg.): 'An introduction to the Langlands Program.' Birkhäuser, Boston, 2004, ISBN 0-8176-3211-5, Chapter 2, S. 21-38. * Emmanuel Kowalski: 'Classical automorphic forms.' In: Joseph Bernstein, Stephen Gelbart (Hrsg.): 'An introduction to the Langlands Program.' Birkhäuser, Boston, 2004, ISBN 0-8176-3211-5, Chapter 3, S. 39-71. * Günter Köhler: 'Eta Products and Theta Series Identities.' Springer, Berlin/Heidelberg, 2011, ISBN 978-3-642-16151-3. * Serge Lang: 'Algebra.' Revised Third Edition. Springer Science+Business Media, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X. * Serge Lang: 'Introduction to Modular forms.' (= 'Grundlehren der mathematischen Wissenschaften.' Band 222). Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, ISBN 3-540-07833-9. * Serge Lang: 'Linear Algebra.' Third Edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1987, ISBN 978-0-387-96412-6. * Toshitsune Miyake: 'Modular forms.' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1989, ISBN 3-540-50268-8. * M. Ram Murty, V. Kumar Murty: 'Non-vanishing of L-Functions and Applications.' Progress in Mathematics, Band 157, Birkhäuser, Boston, 1997, ISBN 3-7643-5801-7. * M. Ram Murty, V. Kumar Murty: 'The Mathematical Legacy of Srinivasa Ramanujan.' Springer, Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-81-322-0769-6. * Ken Ono: 'Modular Forms are Everywhere: Celebration of Don Zagier's 65th Birthday.' In: Ken Ono, Kathrin Bringmann, Maxim Kontsevich, Pieter Moree, Martin Westerholt-Raum (Hrsg.): 'Modular Forms are Everywhere: Celebration of Don Zagier's 65th Birthday.' Research in Mathematical Sciences, Volume 5, Article Numbers A43, 2018. * Ken Ono: 'The Web of Modularity: Arithmetic of the Coefficients of Modular Forms and q-series.' CBMS Regional Conference Series in Mathematics, Nr. 102, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004. * * Jean-Pierre Serre: 'A Course in Arithmetic.' Graduate Texts in Mathematics, Band 7. Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1973, ISBN 3-540-90041-1. * Ehud de Shalit: 'L-Functions of Elliptic Curves and Modular Forms.' In: Joseph Bernstein, Stephen Gelbart (Hrsg.): 'An introduction to the Langlands Program.' Birkhäuser, Boston, 2004, ISBN 0-8176-3211-5, Chapter 5, S. 89-108. * Joseph H. Silverman: 'Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves.' Graduate Texts in Mathematics, Band 151. Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 3-540-94328-5. * Joseph H. Silverman, John Tate: 'Rational points on elliptic curves.' Springer-Verlag, New York 1992, ISBN 0-387-97825-9. * Harold M. Stark: 'Galois Theory, Algebraic Number Theory, and Zeta Functions.' In: M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson: 'From Number Theory to Physics.' Second Corrected Printing. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1995, ISBN 3-540-53342-7, Kapitel 6, S. 313-393. * Elias Stein, Rami Shakarchi: 'Fourier Analysis.' Princeton University Press, Princeton New Jersey 2003, ISBN 0-691-11384-X. * William Stein: 'Modular Forms, a Computational Approach.' (= 'Graduate Studies in Mathematics.' Band 79). With an appendix by Paul E. Gunnells. American Mathematical Society, Providence 2007, ISBN 978-0-8218-3960-7. * Andrew Wiles: 'Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem.' In: 'Annals of Mathematics.' Second Series, Band 141, Nr. 3, 1995, S. 443-551. * Don Zagier: 'Introduction to Modular Forms.' In: M. Waldschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson: 'From Number Theory to Physics.' Second Corrected Printing. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1995, ISBN 3-540-53342-7, Kapitel 4, S. 238-291 ([https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/scanned/IntroductionToModularForms/fulltext.pdf people.mpim-bonn.mpg.de] PDF). Weblinks ====================================================================== * J. S. Milne: [https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/MF.pdf 'Modular Functions and Modular Forms (Elliptic Modular Curves).'] v1.31 March 22, 2017. Corrected; minor revisions. 133 pages, 2017. * [http://maths.pratum.net/notes/index.html Gabor Wiese, verschiedene Vorlesungen zu Modulformen] * [https://www.lmfdb.org/ The L-functions and modular forms data base] Einzelnachweise ====================================================================== Kategorie:Funktionentheorie Kategorie:Analytische Zahlentheorie Kategorie:Gruppentheorie Kategorie:Mathematische Funktion License ========= All content on Gopherpedia comes from Wikipedia, and is licensed under CC-BY-SA License URL: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ Original Article: http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Modulform .