DIR Return Create A Forum - Home
---------------------------------------------------------
Forum Practic
HTML https://practic.createaforum.com
---------------------------------------------------------
*****************************************************
DIR Return to: Matematica
*****************************************************
#Post#: 194--------------------------------------------------
ELEMENTE DE CALCULUL PROPOZITIILOR
DIR By: iulianstoian
Date: January 14, 2015, 6:14 pm
---------------------------------------------------------
Notiunea de propozitie. Se numeste propozitie un enunt despre
care stim ca este advarat sau fals, insa nu si una alta
simultan. n1y14yy
Exemple. Consideram enunturile: 1)In orice triunghi suma
unghiurilor sale este egala cu 180º ; 2) ‚‚3+2=5’’; 3)’’2>5’’ 4)
Balena este un mamifer’’ ; 5) Planeta Venus este satelit al
Pamantului’’.
Toate aceste enunturi sunt propozitii, deoarece despre fiecare
putem sa stim daca este adevarata sau falsa. De exemplu 1),2) si
4) sunt propozitii adevarate, iar 3) si 5) sunt propozitii
false.
Observatie. O clasa foarte larga de propozitii adevarate o
constituie teoremele din matmatica.
Sa consideram enunturile 1),,x+2=5’’ ; 2)’’x-1<4’’ 3)’’Deschide
usa!’’ ; 4)’’Numarul x divide numarul y’’ ; 5)’’Atomul de aur
este galben’.
Se observa ca 1), 2), 3), 4) si 5) sunt enunturi pentru care
conditia de mai sus(de afi adevarat sau fals) nu este
indeplinita. Mai exact enunturile 1), 2) si 4) au caracter
variabil, enuntul 3) este o porunca despre care este lipsit de
sens sa afirmam ca este adevarata sau falsa, enuntul 5) este
absurd, deoarece e lipsit de sens sa vorbim despre culoarea unui
atom.
Valoare de adevar. Daca o propozitie este adevarata, spunem ca
ea are valoarea de adevar ‚adevarul’ si vom nota valoarea de
adevar, in acest caz, prin semnul 1 sau A; cand propozitia este
falsa spunem ca ea are valoarea de adevar ‚falsul’ si vom nota
valoarea de adevar prin semnul 0 sau F.
Observatie. 0 si 1 sunt aici simboluri fara inteles numeric.
Vom nota propozitiile cu literele p, q, r... sau p1, p2,, p3 ...
. Acestea se pot compune cu ajutorul asa-numitilor conectori
logici ‚non’ , ‚si’ , ‚sau’ dand propozitii di ce in ce mai
complexe. p ? p
1 0
0 1
Negatia propozitiilor. Negatia propozitiei p este propozitia non
p care se noteaza ? p si care este adevarata cand p este falsa
si falsa cand p este adevarata. Valoarea de adevar a propozitiei
? p este data in tabelul urmator:
De exemplu, consideram propozitia p: Balena este un mamifer.
Negatia ? p este propozitia : Non balena este un mamifer sau, in
limbajul obisnuit : Balena nu este un mamifer. In acest caz ? p
este o prpozitie falsa
Conjunctia propozitiilor. Conjunctia propozitiilor p, q este
propozitia care se citeste p si q, notata p ? q si care este
adevarata atunci si numai atunci cand fiecare din propozitiile
p, q este adevarata. p q p ? q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
De exemplu, sa consideram propozitiile p: ‚2+4+6’ si q: ‚Luna
este satelit al Pamantului’. In acest exemplu p ? q este o
propozitie adevarata deoarece p, q sunt amandoua adevarate.
Deseori in loc de p ? q se mai foloseste notatia p&q.
Disjunctia propozitiilor. Disjunctia propozitiilor p, q este
propozitia care se citeste p sau q, notata p v q, si care este
adevarata atunci si numai atunci cand este adevarata cel putin
una din propozitiile p, q.
p q p v q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
De exemplu consideram propozitiile p: 2>3 si q: balena este un
peste. Propozitia p v q este o propozitie falsa deoarece ambele
propozitii sunt false.
Propozitiile care se obtin din prpozitiile p, q, r..., numite
propozitii simple, aplicand de un numar finit de ori conectorii
logici ’’ ? , ? , v’’ se vor numi propozitii compuse. Calculul
propozitiilor studiaza propozitiile compuse din punctul de
vedere al adevarului sau falsului in raport cu valorile logice
ale propozitiilor simple care le compun.
Implicatia propozitiilor. Sa consideram propozitia compusa ( ?
p) v q a carei valoare de adevar rezulta din tabela urmatoare: p
q ? p ( ? p) v q
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
Observam ca propozitia compusa ( ? p) v q este falsa atunci si
numai atunci cand p este adevarata si q falsa, in celelalte
cazuri fiind adevarata.
Propozitia compusa ( ? p) v q se noteaza p?q si se citeste daca
p atunci q sau p implica q. Ea se numeste implicatia
propozitiilor p, q ( in aceasta ordine).In implicatia p?q , p se
numeste ipoteza sau antecedentul implicatiei, iar propozitia q
se numeste concluzia sau consecventul implicatiei
Echivalenta propozitiilor. Cu propozitiile p, q putem forma
propozitia compusa (p?q) ? (q?p), care se noteaza p?q si se
citeste p daca si numai daca q. p q p?q q?p p?q
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
Formule echivalente in calculul propozitional
Asa cum in clasele mici cu literele a, b, c, ... si simbolurile
+,· ,-, : , putem forma expresiile algebrice, asa si in calcul
propozitional cu literele p, q, r, ... (sau p1 , p2 ,p3 ,...) si
cu simbolurile conectorilor logici: ?,? ,?,? , putem sa formam
diverse expresii numite formule ale calculului proportional.
Formulele calculului proportional le notam cu literele a, ß, ?,
d, ... .
Exemple: p? q, (p? q) ? r, (p?q) ? (p?q) , (p? r) ? p, ? p ?q
sunt formule ale calculului propozitional.
Data o formula a = a ( p, q, r, ...) in scrierea careia intra
literele p, q, r, ... ori de cate ori inlocuim literele p, q, r,
..., cu diverse propozitii obtinem o noua propozitie
( adevarata sau falsa ) care se va numi valoarea formulei a
pentru propozitiile p, q, r, ...date.
Observatie. Cititorul poate sa faca imediat legatura cu valoarea
unei expresii algebrice pentru diverse valori numerice date
literelor ce o compun.
O formula a ( p, q, r, ...) care are valoarea o propozitie
adevarata indiferent cum sunt propozitiile p, q, r, ... se
numeste formula identic adevarata sau tautologie.
Doua formule,a si ß, in scrierea carora intra literele p,q, r,
... se zic echivalente daca si numai daca pentru orice inlocuire
a literelor p, q, r,... cu diverse propozitii, valorile celor
doua formule sunt propozitii (compuse) care au aceeasi valoare
de adevar.
Cand doua formule a si ß, sunt echivalente scriem a = ß .
D ELEMENTE DE CALCULUL PREDICATELOR
Notiunea de predicat are o importanta deosebita in matematica..
Fara a exagera, aproape orice teorema din matematica este un
enunt ce contineunul sau mai multe predicate.
Un enunt care depinde de una sau mai multe variabile si are
proprietatea ca pentru orice ‚valori’ date variabilei corespunde
o propozitie adevarata sau falsa se numeste predicat sau
propozitie cu variabile. Predicatele sunt unare, binare, ternare
etc., dupa cum depind respect de 1, 2, 3... variabile. Ori de
cate ori definim un predicat trebuie sa indicam si multimile in
care variabilele iau valori.
Cuantificatorul existential (?) si cuantificatorul universal (?)
Strans legata de notiunea de predicat apare notiunea de
cuantificator. Fie predicatul unar p(x) unde x desemneaza un
element oarecare din multimea E. Putem forma enuntul: exista cel
putin un x din E astfel incat p(x), care noteaza (? x)p(x).
Acest enunt este o propozitie care este adevarata cand exista
cel putin un element x0 din E astfel incat propozitia p(x0) este
adevaratasi este falsa cand nu exista nici un x0 din E astfel
incat p(x0) sa fie adevarata. Cu predicatul p(x) putem forma si
enuntul :oricare ar fi x din E are loc p(x) care se noteaza (?x)
p(x). Acest enunt este o propozitie care este adevarata daca
pentru orice element x0 din E p(x0) este adevarata, fiind falsa
in cazul in care exista cel putin un x0 din E pentru care E
p(x0) este falsa.
Echivalenta predicatelor. Doua predicate p( x, y, z...), q(x, y,
z...) se zic echivalente si scriem p( x, y, z...)? q(x, y, z...)
daca oricum am alege valorile variabilelor x0 , y0, z0 pentru
care propozitia p(x0 , y0, z0 ...) si q(x0 , y0, z0 ...) au
aceeasi valoare de adevar. Daca oricum am alege valorile
variabilelor x0 , y0, z0 pentru care propozitia p(x0 , y0, z0
...) este adevaratezulta csi propozitia q(x0 , y0, z0 ...) este
adevarata, vom scrie p( x, y, z...)? q(x, y, z...) Se vede ca p(
x, y, z...)? q(x, y, z...) atunci si numai atunci cand p( x, y,
z...)? q(x, y, z...) si q( x, y, z...)? p(x, y, z...)
Reguli de negatie. Fie p(x) un predicat unar, unde x desemneaza
un element din multimea E. Atunci :
1) ?((?) p(x)) =(?x) ? p(x)
2) ((?x) p(x) =( ?x) ? p(x)
(aici semnul = desemneaza faptul ca cele doua prop. au aceesi
valoare de adevar)
D 3. TEOREMA CONTRARA
1.Structura unei teoreme. O clasa foarte larga de propozitii
adevarate o constituie teoremele din matematica. Exemple : 1) In
orice triunghi, suma unghiurilor sale este egala cu 180o 2)In
orice triunghi, lungimea oricarei laturi este mai mica decat
suma lungimilor celorlalte doua si mai mare ca diferenta lor 3)
In orice triunghi dreptunghic patratul lungimii ipotenuzei este
egal cu suma patratelor lungimilor catetelor. Fiecare teorema
stabileste ca un obiect matematic sau un ansamblu de obiecte
matematice poseda o anumita proprietate. Cum se obtin teormele?
Studiind matematica elementara se poate constata ca toate
teoremele ei se deduc prin demonstratii, adica printr-un sir de
rationamente logice, sau cum se mai spune, prin silogisme, din
cateva propozitii fundamentale numite axiome, care se accepta a
fi adevarate fara demonstratie.
Aproape orice teorema se poate enunta sub forma ,,daca…,
atunci…’’. Partea intai, care incepe cu cuvantul daca se numeste
ipoteza teoremei, partea a doua, cea care incepe cu cuvantul
atunci se numeste concluzia teoremei.
Sa luam de exemplu teorema : ,, intr-un triunghi dreptunghic
patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor
lungimilor catetelor’’. Aceasta teorema se poate pune sub forma
: ,,daca ABC este un triunghi dreptunghic, atunci patratul
lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor
catetelor’’. Aici ipoteza este ,, ABC este un triunghi
dreptunghic’’ iar concluzia este ,,patratelor lungimii
ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor catetelor’’.
Teoremele se pot pune sub forma implicatiei: (1) p(x, y, z…)?
q(x, y, z...) care reprezinta notatia prescurtata a propozitiei
(1’) (?x)( ?y)( ?z).. p(x, y, z…)? q(x, y, z...) In implicatia
(1) predicatul p(x, y, z…) constituie ipoteza teoremei, iar q(x,
y, z...) constituie concluzia teoremei.
2.Teorema contrara. Sa consideram urmatoarea teorema: ,,un
patrulater este pararelogram, atunci diagonalele sale se taie in
parti egale’’. Din aceasta teorema formam urmatorul enunt : daca
un patrulater nu este paralelogram, atunci diagonalele sale nu
se taie in parti egale. Acest enunt este o propozitie adevarata,
deci o teorema. Cum am obtinut acesta noua teorema? Se observa
ca ea s-a obtinut din prima, inlocuind ipoteza si concluzia prin
negatiile lor
Data o teorema, propozitia care se obtine din teorema data
inlocuind ipoteza si concluzia ei prin negatiile lor se numeste
contrara teoremei date . In cazul ca aceasta propozitie este
adevarata ea se numeste teorema contrara a teoremei date.
Observatie. Pentru a enunta corect contrara teoremei, este
foarte important sa stim sa negam corect.
In termeni ai calculului cu predicate daca
(1) p(x, y, z…)? q(x, y, z...) este teorema data, atunci
contrara teoremi este propozitia (2) (?x)( ?y)( ?z)..( ? p(x, y,
z…)?? q(x, y, z...))
In cazul ca (2) este o propozitie adevarata atunci (2) se scrie
sub forma
(2) ? p(x, y, z…)?? q(x, y, z...) si constituie teorema contrara
a teoremei (1).
*****************************************************
Page 1 of 1